Otázky k ústní zkoušce

1. Definujte pojem náhodného výběru. Uveďte příklady.
2. Definujte pojem pravděpodobnostního prostoru a uveďte konkrétní příklady.
3. Co to je náhodný pokus. Uveďte příklady.
4. Vysvětlete pojem náhodného jevu a jeho zápisu.
5. Jak lze vyjádřit pravděpodobnost \(P(A\cup B)\) pomocí pravděpodobností \(P(A)\) a \(P(B)\)?
6. Vysvětlete, proč je \(P(A)\le P(B)\), pokud \(A,B\) jsou jevy, pro které platí, že \(A\subset B\).
7. Vysvětlete, kdy pro jevy \(A, B\) platí vztah \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\) ?
8. Definujte pojem tzv. podmíněné pravděpodobnosti.
9. Vysvětlete pojem nezávislosti jevů \(A\) a \(B.\)
10. Vyslovte větu o úplné pravděpodobnosti.
11. Vyslovte tzv. Bayesovu větu.
12. Vysvětlete co je to binomické rozdělení pravděpodobností.
13. Vysvětlete co znamená pojem náhodné veličiny. Ukažte příklady.
14. Co to je střední hodnota \(EX\) náhodné veličiny? Základní vlastnosti.
15. Co to je disperze (rozptyl) DX náhodné veličiny X? Vyjádřete pomocí centrálního momentu náhodné veličiny X.
16. Vysvětlete na konkrétním příkladě pojem distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny.
17. Vysvětlete pojem pravděpodobnostní funkce \(p_X\) a její vztah k distribuční funkci \(F_X\).
18. Vysvětlete pojem absolutně spojité náhodné veličiny. Uveďte příklad takové náhodné veličiny.
19. Jaký předpis má hostota pravděpodobnosti náhodné veličiny s normálním rozdělením N(0,1)? Jak vypadá předpis hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení \(N(\mu, \sigma^2)\)?
20. Jaké vlastnosti má distribuční funkce \(F_X\) náhodné veličiny \(X\)?
21. Vysvětlete pojem borelovsky měřitelné reálné funkce.
22. Co to je tzv. normovaná náhodná veličina a jaké má vlastnosti?
23. Uveďte tzv. Čebyševovu nerovnost.
24. Vyslovte Bernoulliho "Zákon velkých čísel."
25. Vyslovte znění tzv. Centrální limitní věty.

Ukázková zkoušková písemka

1. úloha: Náhodný pokus spočívá v jednom hodu klasickou hrací kostkou se stěnami očíslovanými od 1 do 6. Náhodný jev 𝐴 nastane, jestliže padne liché číslo a náhodný jev 𝐵 nastane, jestliže padne číslo menší než 4. Určete S, \(𝐴^c\),\(B^c\), 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∖ 𝐵, 𝐵 ∖ 𝐴. Určete také jevové pole \(\cal{A}.\)

2. úloha: Ve třídě 20 chlapců a 12 dívek jsou losem určeni 2 mluvčí. Jaká je pravděpodobnost, že oba mluvčí budou různého pohlaví?

3. úloha: Jaká je pravděpodobnost, že na poctivé hrací kostce padne dvakrát po sobě jednička?

4. úloha: Nechť 𝑋 je spojitá náhodná veličina definována hustotou pravděpodobnosti \(𝑓(𝑥).\) \[ 𝑓(𝑥) = \begin{cases} 𝑐(1 − 𝑥)(1 + 𝑥)\ \ \ −1 < 𝑥 < 1,\\ 0\ \ \ \textrm{jinde.} \end{cases} \] a) Nalezněte konstantu 𝑐 tak, aby 𝑓(𝑥) byla korektně zadána.
b) Nalezněte a zakreslete distribuční funkci 𝐹(𝑥).